+
    ih                         R t ^ RIt ! R R]4      t^RIHt R tR tR tR t	RR	 lt
^ .3R
 ltRR ltRR ltRR ltRR lt]RR l4       t]RR l4       tR# )aI  
---------------------------------------------------------------------
.. sectionauthor:: Juan Arias de Reyna <arias@us.es>

This module implements zeta-related functions using the Riemann-Siegel
expansion: zeta_offline(s,k=0)

* coef(J, eps): Need in the computation of Rzeta(s,k)

* Rzeta_simul(s, der=0) computes Rzeta^(k)(s) and Rzeta^(k)(1-s) simultaneously
  for  0 <= k <= der. Used by zeta_offline and z_offline

* Rzeta_set(s, derivatives) computes Rzeta^(k)(s) for given derivatives, used by
  z_half(t,k) and zeta_half

* z_offline(w,k): Z(w) and its derivatives of order k <= 4
* z_half(t,k): Z(t) (Riemann Siegel function) and its derivatives of order k <= 4
* zeta_offline(s): zeta(s) and its derivatives of order k<= 4
* zeta_half(1/2+it,k):  zeta(s)  and its derivatives of order k<= 4

* rs_zeta(s,k=0) Computes zeta^(k)(s)   Unifies zeta_half and zeta_offline
* rs_z(w,k=0)    Computes Z^(k)(w)      Unifies z_offline and z_half
----------------------------------------------------------------------

This program uses Riemann-Siegel expansion even to compute
zeta(s) on points s = sigma + i t  with sigma arbitrary not
necessarily equal to 1/2.

It is founded on a new deduction of the formula, with rigorous
and sharp bounds for the  terms and rest of this expansion.

More information on the papers:

 J. Arias de Reyna, High Precision Computation of Riemann's
 Zeta Function by the Riemann-Siegel Formula I, II

 We refer to them as I, II.

 In them we shall find detailed explanation of all the
 procedure.

The program uses Riemann-Siegel expansion.
This  is useful when t is big, ( say  t > 10000 ).
The precision is limited, roughly it can compute zeta(sigma+it)
with an error less than exp(-c t) for some constant c depending
on sigma.  The program gives an error when the Riemann-Siegel
formula can not compute to the wanted precision.

Nc                   &   a  ] tR t^5t o R tRtV tR# )RSCachec                    ^ ^
/ / .V n         R# )    N)	_rs_cache)ctxs   &w/Users/tonyclaw/.openclaw/workspace/skills/math-calculator/venv/lib/python3.14/site-packages/mpmath/functions/rszeta.py__init__RSCache.__init__6   s    BB     N)__name__
__module____qualname____firstlineno__r	   __static_attributes____classdictcell__)__classdict__s   @r   r   r   5   s     ( (r   r   )defunc                	   V^,           pVR,          p\        V P                  ^
V^,           ,          4      ^V,          ^,           V P                  V4      ,
          4      pV P                  ^V,          4      p\        V P                  ^(V,          4      V P                  V4      ^,           V,           4      pWpn        / pV P                  V^ &   V P
                  V^&   \        ^^V,          ^,           4       F%  p	W^,
          ,          V P
                  ,          W&   K'  	  V^,           V n        / p
/ p\        ^ V^,           4       Fo  p	RV	,          V P                  ^V	,          4      ,          pV P                  V4      V P                  ^V	,          4      ,          pW^V	,          ,          ,          W&   Kq  	  \        ^ ^V,          ^,           4       FF  p	V P                  V P                  V	4      ,          pV^V	,          ,          pWV	,          ,          W&   KH  	  ^V n        ^	V P                  V4      ,
          p/ p\        ^ V^,           4       F  p	^V n        \        V P                  ^
V	^,           ,          4      ^V	,          V,           4      pVV n        ^ p\        ^ V	^,           4       FD  pVRV,          V
V,          ,          V^V	,          ^V,          ,
          ,          ,          ,          pKF  	  RV	^,           ,          V P                  ,          V,          W&   K  	  / p\        ^ V^,           4       F  p	^V n        \        V P                  ^
V	^,           ,          4      ^V	,          V,           4      pVV n        ^ p\        ^ V	^,           4       FF  pVV P                  V	V,
          ,          V
V,          ,          WV,
          ,          ,          ,          pKH  	  VVV	&   K  	  ^V n        ^V P                  V4      ,
          p\        ^^V,          V,           4      pVV n        V P                  V P                  R4      4      ^,          pV P                  R4      ^,          p/ p\        ^ V4       FY  p	^V n        \        ^^V	,          V,           4      pVV n        VW,          ,          VVV	,          ,          ,           V^V	,          &   K[  	  \        ^^V,          ^4       F  p	^ VV	&   K
  	  W4VV.# )a  
Computes the coefficients  `c_n`  for `0\le n\le 2J` with error less than eps

**Definition**

The coefficients c_n are defined by

.. math ::

    \begin{equation}
    F(z)=\frac{e^{\pi i
    \bigl(\frac{z^2}{2}+\frac38\bigr)}-i\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{2}z}{2\cos\pi
    z}=\sum_{n=0}^\infty c_{2n} z^{2n}
    \end{equation}

they are computed applying the relation

.. math ::

    \begin{multline}
    c_{2n}=-\frac{i}{\sqrt{2}}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{2n}
    \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k)!}
    2^{2n-2k}\frac{(-1)^{n-k}E_{2n-2k}}{(2n-2k)!}+\\
    +e^{3\pi i/8}\sum_{j=0}^n(-1)^j\frac{
    E_{2j}}{(2j)!}\frac{i^{n-j}\pi^{n+j}}{(n-j)!2^{n-j+1}}.
    \end{multline}
       @2g      ?)maxmag	_eulernumpreconepirangempffacjsqrtexpjpi)r   JepsnewJneweps6wpvwEwppipipowernvwvawawpp1aP1wpp1sumpkP2wpp2wpc0wpcmunucs   &&&                       r   _coefr>   N   s   : Q3D"fG swwr46{#QtVAXcggg.>%>?D 	afA" swwr$wq$!67DHGGAJGAJ1QtVAXqS\#&&(
 
 AvCHAA1T!V_1Ws}}QqS))WWR[1%!_  1QtVAXWWSWWQZq!t9
]  CH  E	B1T!V_3772qs8$QqSY/q1Ab1W!$Qqs1Q3wZ//D ac{CEE!$&  
B1T!V_3772qs8$QqSY/q1ASUUQqS\QqT)!aC&00D 1  CHswwwD
a$t
CCH	#''#,		!B	D	!	BA1T]!AaCHoBE"RU("!A#	 
 1QtVA! 1g&&r   c                 Z  a  S P                   pW^ ,          8:  d    W#^,          8  d   V^,          V^,          3# S P                  P                  p \        S P                  W4      pVS P                  n        S S P                  Jd[   \	        V 3R lV^,          P                  4        4       4      V^&   \	        V 3R lV^,          P                  4        4       4      V^&   VS P                   R&   S P                   ^,          S P                   ^,          3#   TS P                  n        i ; i)r   c              3   N   <"   T F  w  rVSP                  V4      3x  K  	  R # 5iNconvert.0r6   r.   r   s   &  r   	<genexpr>coef.<locals>.<genexpr>         Geq#++a.)   "%c              3   N   <"   T F  w  rVSP                  V4      3x  K  	  R # 5irA   rB   rD   s   &  r   rF   rG      rH   rI   :NNN)r   _mpr   r>   dictitems)r   r%   r&   _cacheorigdatas   f&&   r   coefrQ      s    ]]F1I~#*ay&)##77<<DSWWa%
#''GtAw}}GGQGtAw}}GGQCMM!==S]]1--- s   D D*c                 Z   R V,          V,          pV P                  V4      p^V P                  V P                  4      ,          V P                  V4      ,           V P                  V4      ,           ^,          V P                  ^V P                  ,          4      ^,          ,
          p^V,          ^,
          pV P                  V^,           4      V P                  VR,          ^,           4      ,
          ^,          V P                  V^,           R,          4      ,
          p	WhV,          V	,           8  dz   V^8  ds   V^,
          pV P                  V^,           4      V P                  VR,          ^,           4      ,
          ^,          V P                  V^,           R,          4      ,
          p	K  Tp
V
# )gbk5_@      @r   )lnr   loggamma)r   xAxeps4axB1xLaux1aux2maux3xMs   &&&&&&     r   aux_M_Fpr`      s)    r>%D66$<DcffSVVnSVVC[(2A5svvah7G7IID	"QA<<!S\\!C%'22A
5s||QqS"H7M
MDD&$,AaCEQqS!#,,quQw"77:CLL!A#r<RR	
BIr   c                     VR V,          ,          pWC,          R,          pW`P                  Wu^,          ,          V^,
          ^,          4      ,          V,          p\        Wg4      pV# )x  gJR_@)powermin)	r   rV   rW   rX   rY   r_   h1h2h3s	   &&&&&&   r   aux_J_neededrh      sR    
 
BB	&	&B	iiEBqD!8,	,r	1B	RBIr   c                 I  a  S P                   pS P                  V4      pS P                  V4      p^V,
          p^S n         S P                  V^S P                  ,          ,          4      pWu,          pWv,          p	S P                  ^S P                  V4      ^,
          4      p
S P                  ^S P                  V	4      ^,
          4      pS P                  ^V) 4      pVR,          pW,          R,          pW,          R,          p^S n         V^ 8  d;   Rp\        P                  ! ^	V4      R,          p\        P                  ! ^	V4      p^pM;Rp\        P                  ! ^V) 4      R,          p\        P                  ! ^V) 4      pRpV^ 8  d;   Rp\        P                  ! ^	V4      R,          p\        P                  ! ^	V4      p^pM;Rp\        P                  ! ^V) 4      R,          p\        P                  ! ^V) 4      pRp^S n         ^p^V,          S P                  VR,          4      ,          S P                  VV,          V) 4      ,          V8  d   V^,           pKU  \        ^V4      p^p^V,          S P                  VR,          4      ,          S P                  VV,          V) 4      ,          V8  d   V^,           pKU  \        ^V4      p^V,          ^V,          V,          R,          8  g   ^V,          ^,           V,           ^ 8  gn   \        V4      VR,          8  gW   ^V,          ^V,          V,          R,          8  g4   ^V,          ^,           V,           ^ 8  g   \        V4      VR,          8  d   VS n         \        R	4      h\        VV4      pV^V,          ,          pV^V,          ,          pV^V,          ,          pV^V,          ,          p\        S VVVVV4      p\        S VVVVV4      p \        VV 4      p!\        S VVVVV4      p"\        S VVVVV 4      p#\        V"V#4      p"^p$^S P                  ,          V$,          S P                  V$^,           4      ,          p%V%V"8  d-   V$^,           p$^S P                  ,          V%,          V$,          p%K3  / p&\        P                  \        P                  ,          V,          V,          p'\        P                  \        P                  ,          V,          V,          p(\!        ^ ^4       F  p)\        P                  ! V'V)^,          4      R
V,          ,          p*\        P                  ! V(V)^,          4      R
V,          ,          p+\        V*V+4      p,S P                  V)^,           4      S P                  V)R,          R,           4      ,          p-\        P                  ! V-4      p-V,V-,          \        VV4      ,          V&V)&   K  	  \        ^V,          ^,
          ^4      ^,           p.RV$,          p/S P                  ^,V$,          4      p0\!        ^ V.4       FI  p)\        V0S P                  V/S P                  V)^,           4      ,          V&V),          ,          4      4      p0KK  	  V0S P                  V4      ,           ^,           S n         S P                  V^S P                  ,          ,          4      pS P#                  V4      p1^^VV1,
          ,          ,
          p2S P#                  V2S P%                  R4      V0,          ,          4      p3V2S P%                  R4      V0,          ,          V3,
          p4V4R8  d   T3p3M	V3^,           p3S P'                  V3S P%                  R4      V0) ,          ,          4      p2S P                  S P'                  ^S P                  ,          4      V$4      S P                  V$^,           4      ^,          V$,          ,          p5/ p6/ p7\)        S V$V54      w  p7p8V7P+                  4       p6/ p9\!        V!^V,          ^,
          4       F  p:^ V9V:&   K
  	  / p9V0S n         \!        ^ V!^,           4       F  p)^ p;\!        ^V$,          V),
          ^,
          RR4       F  p<V;V2,          V6V<,          ,           p;K  	  V;V9V)&   \!        ^ ^V$,          V),
          ^,
          4       F$  p<V<^,           V6V<^,           ,          ,          V6V<&   K&  	  K  	  / p=\        ^S P                  ^(V,          V,          4      4      p>^S P                  ^\        V4      ,           V,          4      ,           S P                  V4      ,
          ^,
          p?S P-                  ^S P                  S P                  ,          V,          V,          V,          V,          ,          4      ^,          p@\!        ^ V4       Fl  p:S P                  S P                  S P                  V:R,
          4      4      4      S P#                  V:X@,          4      ,
          V?,           pA\        VAV>4      V=V:&   Kn  	  V=^,          ^
,           S n         ^^V,          ,
          pB/ pC^ VCR&   ^ VCR&   ^VCR&   ^ VCR&   ^ VCR&   ^ VCR&   ^VCR&   ^ VCR&   \!        ^V4       EF  p:V=V:,          ^
,           S n         \!        ^ ^V:,          ^,          ^,           4       EFx  p<^V:,          ^V<,          ,
          p)V)^ 8w  d   S P.                  V),          pDVD^,          pEXBVD,          ^,          pFV)^,           ) pGVGXC^ V:^,
          V<^,
          3,          ,          VEVC^ V:^,
          V<3,          ,          ,           VFVC^ V:^,
          V<^,
          3,          ,          ,           VC^ V:V<3&   K  ^ XC^ V:V<3&   \!        ^ V<4       F  pHXC^ V:VH3,          S P%                  R4      S P1                  ^V<,          ^VH,          ,
          4      ,          S P1                  V<VH,
          4      ,          ,          pIVC^ V:V<3;;,          RV<VH,
          ,          VI,          ,          uu&   K  	  EK{  	  ^ XC^ V:R3&   ^ VC^ V:R3&   ^ VC^ V:^V:,          ^,          ^,           3&   EK  	  \!        RV^,           4       F|  pJ\!        RV4       Fi  p:\!        R\        ^^V:,          ^,          ^,           4      4       F7  p<XJ^ 8  g&   V:^ 8  g   V<^ 8  g   V<^V:,          ^,          8  g   K/  ^ XCXJV:V<3&   K9  	  Kk  	  K~  	  \!        ^V^,           4       F  pJ\!        ^ V4       F  p:V=V:,          ^
,           S n         \!        ^ ^V:,          ^,          ^,           4       F  p<^XJ,          ^,
          XCVJ^,
          V:^,
          V<^,
          3,          ,          ^VV:,           ^,
          ,          VCVJ^,
          V:^,
          V<^,
          3,          ,          ,           p/V/VCVJ^,
          V:^,
          V<^,
          3,          ,
          VCVJV:V<3&   K  	  K  	  K  	  / pK\        ^S P                  ^(V,          V,          4      4      p>^S P                  ^\        V4      ,           V,          4      ,           S P                  V4      ,
          ^,
          pLS P-                  ^S P                  S P                  ,          V,          V,          V,          V,          ,          4      ^,          pM\!        ^ V4       Fl  p:S P                  S P                  S P                  V:R,
          4      4      4      S P#                  V:XM,          4      ,
          XL,           pN\        VNV>4      XKV:&   Kn  	  XK^,          ^
,           S n         ^^V,          ,
          pO/ pP^ VPR&   ^ VPR&   ^VPR&   ^ VPR&   ^ VPR&   ^ VPR&   ^VPR&   ^ VPR&   \!        ^V4       EF  p:XKV:,          ^
,           S n         \!        ^ ^V:,          ^,          ^,           4       EFx  p<^V:,          ^V<,          ,
          p)V)^ 8w  d   S P.                  V),          pDVD^,          pEXOVD,          ^,          pFV)^,           ) pGVGXP^ V:^,
          V<^,
          3,          ,          VEVP^ V:^,
          V<3,          ,          ,           VFVP^ V:^,
          V<^,
          3,          ,          ,           VP^ V:V<3&   K  ^ XP^ V:V<3&   \!        ^ V<4       F  pHXP^ V:VH3,          S P%                  R4      S P1                  ^V<,          ^VH,          ,
          4      ,          S P1                  V<VH,
          4      ,          ,          pIVP^ V:V<3;;,          RV<VH,
          ,          VI,          ,          uu&   K  	  EK{  	  ^ XP^ V:R3&   ^ VP^ V:R3&   ^ VP^ V:^V:,          ^,          ^,           3&   EK  	  \!        RV^,           4       F|  pJ\!        RV4       Fi  p:\!        R\        ^^V:,          ^,          ^,           4      4       F7  p<XJ^ 8  g&   V:^ 8  g   V<^ 8  g   V<^V:,          ^,          8  g   K/  ^ XPXJV:V<3&   K9  	  Kk  	  K~  	  \!        ^V^,           4       F  pJ\!        ^ V4       F  p:XKV:,          ^
,           S n         \!        ^ ^V:,          ^,          ^,           4       F  p<^XJ,          ^,
          XPVJ^,
          V:^,
          V<^,
          3,          ,          ^VV:,           ^,
          ,          VPVJ^,
          V:^,
          V<^,
          3,          ,          ,           p/V/VPVJ^,
          V:^,
          V<^,
          3,          ,
          VPVJV:V<3&   K  	  K  	  K  	  / pQ/ pR^S n         S P                  ^(V^,           ,          4      pES P                  ^DV^,           ,          V,          4      pSS P                  VV,          \        P                  ! S P                  4      ,          4      ^,
          pT\!        ^ V4       F  p<XSV<XT,          ,
          S P                  S P1                  V<R,           4      4      R,          ,           pU\        XEVUS P                  V4      ,
          ^,           4      ^,           ^,           R,          XQV<&   \        VES P                  V^,           4      VU,           S P                  V4      ,
          ^,           4      ^,           ^,           XRV<&   K  	  / pV/ pW^S n         S P                  ^(V^,           ,          4      pES P                  ^DV^,           ,          V,          4      pXS P                  VV,          \        P                  ! S P                  4      ,          4      ^,
          pY\!        ^ V4       F  p<XXV<XY,          ,
          S P                  S P1                  V<R,           4      4      R,          ,           pZ\        XEVZS P                  V4      ,
          ^,           4      ^
,           R,          XVV<&   \        VES P                  V^,           4      VZ,           S P                  V4      ,
          ^,           4      ^,           ^
,           XWV<&   K  	  / p[\!        ^ V^,           4       FF  pJ\!        ^ V4       F3  p<\!        R^V<,          ^,          ^,           4       F  p\^ X[XJV<V\3&   K  	  K5  	  KH  	  \!        ^ V^,           4       F  pJ\!        ^ V4       F  p<XQV<,          S n         \!        ^ ^V<,          ^,          ^,           4       F  p\XCXJV<V\3,          V9^V<,          ^V\,          ,
          ,          ,          V8^V<,          V\,
          ,          ,          X[VJV<V\3&   V[VJV<V\3,          ^S P2                  ,          V\,          ,          V[VJV<V\3&   K  	  K  	  K  	  V 3R lp]/ p^\!        ^ V^,           4       FF  pJ\!        ^ V4       F3  p<\!        R^V<,          ^,          ^,           4       F  p\^ X^XJV<V\3&   K  	  K5  	  KH  	  \        XQ^ ,          XV^ ,          4      ^,           S n         X]! V4      p_S P-                  V_4      ) p`\!        ^ V^,           4       F  pa\!        ^ V4       F  p<XQV<,          S n         \!        ^ ^V<,          ^,          ^,           4       F~  p\^ X^XaV<V\3&   \!        ^ Va^,           4       F\  pJS P5                  XaVJ4      S P                  X`VJ4      ,          X[VaVJ,
          V<X\3,          ,          pbX^VaV<V\3;;,          Vb,          uu&   K^  	  K  	  K  	  K  	  / pc\!        ^ V^,           4       FF  pJ\!        ^ V4       F3  p<\!        R^V<,          ^,          ^,           4       F  p\^ XcXJV<V\3&   K  	  K5  	  KH  	  \!        ^ V^,           4       F  pJ\!        ^ V4       F  p<XVV<,          S n         \!        ^ ^V<,          ^,          ^,           4       F  p\XPXJV<V\3,          V9^V<,          ^V\,          ,
          ,          ,          V8^V<,          V\,
          ,          ,          XcVJV<V\3&   VcVJV<V\3,          ^S P2                  ,          V\,          ,          VcVJV<V\3&   K  	  K  	  K  	  / pd\!        ^ V^,           4       FF  pa\!        ^ V4       F3  p<\!        R^V<,          ^,          ^,           4       F  p\^ XdXaV<V\3&   K  	  K5  	  KH  	  \!        ^ V^,           4       F  pa\!        ^ V4       F  p<XVV<,          S n         \!        ^ ^V<,          ^,          ^,           4       F~  p\^ XdXaV<V\3&   \!        ^ Va^,           4       F\  pJS P5                  XaVJ4      S P                  X`VJ4      ,          XcVaVJ,
          V<X\3,          ,          pbXdVaV<V\3;;,          Vb,          uu&   K^  	  K  	  K  	  K  	  \        XQ^ ,          XV^ ,          4      ^,           S n         / pe^Ve^ &   Ve^ ,          V,          Ve^&   \        VQ^ ,          VV^ ,          4      S n         \!        ^V4       F$  p<XeV<^,
          ,          Ve^,          ,          VeV<&   K&  	  / pf\!        ^ V^,           4       Fl  pa\!        ^ V4       FY  p<XQV<,          S n         \!        ^ ^V<,          ^,          ^,           4       F#  p\X^XaV<V\3,          XeV<,          ,          XfVaV<V\3&   K%  	  K[  	  Kn  	  / pg\!        ^ V^,           4       Fl  pa\!        ^ V4       FY  p<XVV<,          S n         \!        ^ ^V<,          ^,          ^,           4       F#  p\XdXaV<V\3,          XeV<,          ,          XgVaV<V\3&   K%  	  K[  	  Kn  	  / ph\!        ^ V^,           4       Fh  pa\!        ^ V4       FU  p:XRV:,          S n         ^ pi\!        ^ ^V:,          ^,          ^,           4       F  p<XiXfXaV:V<3,          ,          piK  	  XiXhXaV:3&   KW  	  Kj  	  / pj\!        ^ V^,           4       Fh  pa\!        ^ V4       FU  p:XWV:,          S n         ^ pi\!        ^ ^V:,          ^,          ^,           4       F  p<XiXgXaV:V<3,          ,          piK  	  XiXjXaV:3&   KW  	  Kj  	  / pk^S n         \        P                  ! S P                  4      V,          VV,          ,          pl^S n         S P                  RV^,           ^,          ,          Vl,          V,          4      pm\        VmS P                  ^
V^,           ,          4      4      pmVmS n         \!        ^ V^,           4       FG  pa^ XkVa&   \!        ^V^,           4       F(  p<XkXa;;,          XhVaVV<,
          3,          ,          uu&   K*  	  KI  	  / pn^S n         \        P                  ! S P                  4      V,          VV,          ,          po^S n         S P                  RV^,           ^,          ,          Vo,          V,          4      pp\        VpS P                  ^
V^,           ,          4      4      ppVpS n         \!        ^ V^,           4       FG  pa^ XnVa&   \!        ^V^,           4       F(  p<XnXa;;,          XjVaVV<,
          3,          ,          uu&   K*  	  KI  	  ^S n         ^\        S P                  \        Xk^ ,          4      4      S P                  \        Xn^ ,          4      4      4      ,          pqV^Vq,          ,          prVS P-                  V^S P                  ,          ,          4      ,          ps^S P                  ^^Vr,          S P                  Wu) 4      ,          ,           Vs,          4      ,           pt^S P                  ^^Vr,          S P                  Wv) 4      ,          ,           Vs,          4      ,           pu\        VtVu4      S n         V^S P                  ,          ,          pvV^,          S P-                  Vv4      ,          V^,          ,
          S P                  ^,          ,
          pwS P7                  Vw) 4      pxX]! V4      pS P                  Wu) 4      pS P                  Wv) 4      p	RV1^,
          ,          V,          Vx,          pyRV1^,
          ,          V	,          Vx,          pz^S n         ^S P                  V1S P                  V1^V,
          4      ,           S P-                  V14      ,          V,          4      ,           p{^S P                  V1S P                  V1^V,
          4      ,           S P-                  V14      ,          V,          4      ,           p|\        V{V|4      p}V}^
,           S n          S P9                  V^\;        V14      ^,
          \!        ^ V^,           4      R4      w  p~p^S n         \        V~V,          4      p\        VkV,          Vy,          4      p\        ^VS P                  ^^V,          ^V,          ,           ,          4      ,           4      pVS n         / p\!        ^ V^,           4       F$  paX~Va,          XkVa,          Xy,          ,           XVa&   K&  	  ^S n         \        XV,          4      p\        XnV,          Xz,          4      p\        ^VS P                  ^^V,          ^V,          ,           ,          4      ,           4      pVS n         / p\!        ^ V^,           4       F?  paXVa,          XnVa,          Xz,          ,           XVa&   S P=                  VVa,          4      VVa&   KA  	  VS n         XX3# )         @rS   r   5U@`<@Y?      ?      9@2Riemann-Siegel can not compute with such precision     s@  r   z1.0      ?c                    < SP                   pV^,           Sn         SP                  V ^SP                  ,          ,          4      pVSn         V#    r   r#   r   twpaar   s   &  r   trunc_aRzeta_simul.<locals>.trunc_a0  =    XX6XXa366l#	r   皙@Tr   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   rj   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   rj   )r   _im_rer#   r   rc   r   mathpowgammar   absNotImplementedErrorr`   rh   rd   r   floorr    rC   rQ   copyrT   r   r!   r"   binomialexpj_zetasumintconj)r   sder	wpinitialrz   xsigmaysigmarX   xasigmayasigmaxA1yA1r&   eps1xeps2yeps2xbxcrV   rY   ybycyAyB1rZ   yLLxeps3yeps3rW   yeps4r_   yMMrg   h4r%   jvalueeps5xforeps5yforeps5r]   xaux1yaux1r[   r\   twentyauxwpfpNpnum
differenceeps6cccontpipowersFpr-   sumPr6   xwpdd1xd2xconstxd3xpsigmaxdm1c1c2c3raddr;   ywpdyd2yconstyd3ypsigmaydxwptcoefxwptermxc2xc4xc3ywptcoefywptermyc2yc4yc3	xfortcoefellr}   xtcoefr|   lachitcoefter	yfortcoefytcoefavxtvytvxtermteytermxrssumxrsboundxwprssumyrssumyrsboundywprssumA2eps8Txwps3ywps3tpiargUxS3yS3xwpsumywpsumwpsumxS1yS1xabsS1xabsS2xwpendxrzyabsS1yabsS2ywpendyrzs   f&&                                                                                                                                     r   Rzeta_simulr     s   I 	
AWWQZFZF CHAcffHAkGkG 			!SWWW%a'(C		!SWWW%a'(C ))A	z
"Cr6DIbLEIbLE CHzXXa'XXaXXa (XXa zXXa'XXaXXa (XXa 
 CH	
B
B$syyC 
 399RT2##6
6%
?T	QrB	
B
B$syyC 
 399RT2##6
6%
?T	QrB 
21Qs	"QvaS[1R45G	
21Qs	"QvaS[1R45G!"VWW 	BA AbD\EAbD\E
 1R4LE1R4LE 
#r5!S"	-B	#r5!S"	-BBA 
c2uab	1B	c2uab	1B	RB
Ah]SYYqs^+F
2+aCCFF(F"1$
 
Dwwtwws"1$Hwwtwws"1$H1R[1Q3'b11Q3'b15% yy1~cii#c	22yy9Su--Q  1Q^AF
q&C772a4=D1V_4SYYqs^!3DG!;<= 
 cggaj #CHAcffHA		!A	!QqS'	A
 			!SWWS\4'()CcggclD()#-JS!eC3773<4%012A 99S[[366*A.		!A#q0@0BCD 
BD#q$'ND(yy{B	B1ac!e_1 	BCH1QqS\qs1uQwr"%A1Hr!u$D &1q1Qq!AqS2ac7NBqE "  
D	Qswwr!tAv	B
SWWaFmR'(
(
7
9CVVAsvvcff}Qq(,S012A5F1QZggchhsyy3/01#))AfH2EEcICQ 
 AwrzCH6lG	BBvJQ"V*!5	qRYBwKq2g;Q"V*16
1QZ72:q1a"A!AaCA!tWWQYqDBJ>qS6R!A#ac	]*2b1Q3qk>9"R!A#ac	]:JJ1Qq5	1Qq5	qA1Qq5	3775>#''!A#ac'2B#B3771Q3<#OPCq1uI21+s!22I $ # 1Qr6
b1RjQBq1Q36!8|$4   Bs1uor!A2c!AaCF1Ho.Tacaca!Qh!"Br!AvJ /  
 Ac!enqAAwrzCH1QqS!VAX&rT!VR1QqS1--a!nR1QqS1=M.MM 2bd1Q3qsl#332a6
 '   
D	Qswwr!tAv	B
SWWaFmR'(
(
7
9CVVAsvvcff}Qq(,S012A5F1QZggchhsyy3/01#))AfH2EEcICQ 
 AwrzCH6lG	BBvJQ"V*!5	qRYBwKq2g;Q"V*16
1QZ72:q1a"A!AaCA!tWWQYqDBJ>qS6R!A#ac	]*2b1Q3qk>9"R!A#ac	]:JJ1Qq5	1Qq5	qA1Qq5	3775>#''!A#ac'2B#B3771Q3<#OPCq1uI21+s!22I $ # 1Qr6
b1RjQBq1Q36!8|$4 " Bs1uor!A2c!AaCF1Ho.Tacaca!Qh!"Br!AvJ /  
 Ac!enqAAwrzCH1QqS!VAX&rT!VR1QqS1--a!nR1QqS1=M.MM 2bd1Q3qsl#332a6
 '   HGCH	QqS	B
''"ac(2+
C
''#a%		#&&))
*1
,C1QZAcEk#''#''!C%.1"442c#''%.023A5r93>"SWWQqS\#-cggen<Q>?A2E
  HGCH	QqS	B
''"ac(2+
C
''#a%		#&&))
*1
,C1QZAcEk#''#''!C%.1"44Bs3775>1!34b8#="SWWQqS\#-cggen<Q>?A2E
  IAc!enqAR!Qq)$%	"Qs(# *   Ac!enqA{CHQqsAvax($&r!CxLAaC#I$>x!C?P$P	"Qs(#$-b3h$7!CEE'C$H	"Qs(# )   FAc!enqAR!Qq)!"r!Cx  *   8A;x{+A-CH
B
&&*BQs1u~qA{CHQqsAvax(#$s1Sy!3q5/B \\#b1#))Br2BB9SQSVTUVY\CZZH3q9%1% * )   IAc!enqAR!Qq)$%	"Qs(# *   Ac!enqA{CHQqsAvax($&r!CxLAaC#I$>x!C?P$P	"Qs(#$-b3h$7!CEE'C$H	"Qs(# )   FQs1u~qAR!Qq)"#s1Sy! *   Qs1u~qA{CHQqsAvax(#$s1Sy!3q5/B \\#b1#))Br2BB9SQSVTUVY\CZZH3q9%1% * )   8A;,Q.CH	BBqEqE!GBqE8A;x{+CH1QZ1Q3"Q%1  CQs1u~qA{CHQqsAvax(!'Ac	!2BqE!9C#I )   CQs1u~qA{CHQqsAvax(!'Ac	!2BqE!9C#I )   EQs1u~qAqzCHB1ac1fQh'c#a'l" (E#a%L   EQs1u~qAqzCHB1ac1fQh'c#a'l" (E#a%L   FCHyy 2%1-HCHwwsQqS1H~h.67H8SWWR1X./HCHQs1u~sq1A3K5QqS>)K   FCHyy 2%1-HCHwwsQqS1H~h.67H8SWWR1X./HCHQs1u~sq1A3K5QqS>)K   CH	
SVAY(#''#fQi.*AB	CB":D	366!QsvvX,A!QtVSYYq%9991<==E!QtVSYYq%9991<==E5% CH
QsvvX,CQ3s
QqS
!#&&(
*C#A
Aii7#Gii7#G!A#;'
!A
%C!A#;'
!A
%C CH!CIIa&11366!9<dBCCF!CIIa&11366!9<dBCCFEbyCH$ ||Aq#a&(E!CENDAHC CHS]Fs"#FIcgga6!F():&;==?FCH
CQs1u~s8F3KO+C  CHS]Fs"#FIcgga6!F():&;==?FCH
CQs1u~s8F3KO+C88CH%C  CH8Or   c                *  a  \        V4      pS P                  pS P                  V4      pS P                  V4      p^S n        S P	                  V^S P
                  ,          ,          4      pS P                  Wv4      pS P                  ^S P                  V4      ^,
          4      p	S P                  ^V) 4      p
V
R,          pW,          R,          p^S n        V^ 8  d;   Rp\        P                  ! ^	V4      R,          p\        P                  ! ^	V4      p^pM;Rp\        P                  ! ^V) 4      R,          p\        P                  ! ^V) 4      pRp^S n        ^p^V,          S P                  VR,          4      ,          S P                  W,          V) 4      ,          V8  d   V^,           pKT  \        ^V4      p^V,          ^V,          V,          R,          8  g4   ^V,          ^,           V,           ^ 8  g   \        V4      VR,          8  d   VS n        \        R	4      hV^V,          ,          pV^V,          ,          p\        S VVVVV4      p/ p\        V^V,          ^,
          4       F  p^ VV&   K
  	  VR
V,          ,          pS P
                  S P
                  ,          V,          V,          S P	                  ^4      ,          \        P                  ,          \        P                  ,          pVS P                  VV^,          ,          V^,
          ^,          4      ,          V,          p\!        VV4      p^p^S P
                  ,          V,          S P                  V^,           4      ,          pVV8  d-   V^,           p^S P
                  ,          V,          V,          pK3  / p\        P
                  \        P
                  ,          V,          V,          p\        ^ ^4       F  p\        P                  ! VV^,          4      RV,          ,          pS P                  V^,           4      S P                  VR,          R,           4      ,          p \        P                  ! V 4      p VV ,          V,          VV&   K  	  \!        ^V,          ^,
          ^4      ^,           p!RV,          p"S P                  ^,V,          4      p#\        ^ V!4       FI  p\        V#S P                  V"S P                  V^,           4      ,          VV,          ,          4      4      p#KK  	  V#S P                  V4      ,           ^,           S n        S P	                  V^S P
                  ,          ,          4      pS P#                  V4      p$^^VV$,
          ,          ,
          p%S P#                  V%S P%                  ^4      V#,          ,          4      p&V%S P%                  ^4      V#,          ,          V&,
          p'V'R8  d   T&p&M	V&^,           p&S P'                  V&S P%                  ^4      V#) ,          ,          4      p%S P                  ^S P
                  ,          V4      S P                  V^,           4      ^,          V,          ,          p(/ p)/ p*\)        S VV(4      w  p*p+V*P+                  4       p)/ p\        V^V,          ^,
          4       F  p^ VV&   K
  	  V#S n        \        ^ V^,           4       F  p^ p,\        ^V,          V,
          ^,
          RR4       F  p-V,V%,          V)V-,          ,           p,K  	  V,VV&   \        ^ ^V,          V,
          ^,
          4       F$  p-V-^,           V)V-^,           ,          ,          V)V-&   K&  	  K  	  / p.\        ^S P                  ^(V,          V,          4      4      p/^S P                  ^\        V4      ,           V,          4      ,           S P                  V4      ,
          ^,
          p0S P-                  ^S P
                  S P
                  ,          V,          V,          V,          V,          ,          4      ^,          p1\        ^ V4       Fl  pS P                  S P	                  S P                  VR,
          4      4      4      S P#                  VV1,          4      ,
          V0,           p2\        V2V/4      V.V&   Kn  	  V.^,          ^
,           S n        ^^V,          ,
          p3/ p4^ V4R&   ^ V4R&   ^V4R&   ^ V4R&   ^ V4R&   ^ V4R&   ^V4R&   ^ V4R&   \        ^V4       EF  pV.V,          ^
,           S n        \        ^ ^V,          ^,          ^,           4       EFs  p-^V,          ^V-,          ,
          pV^ 8w  d   S P.                  V,          p5V5^,          p6V3V5,          ^,          p7V^,           ) p8V8V4^ V^,
          V-^,
          3,          ,          V6V4^ V^,
          V-3,          ,          ,           V7V4^ V^,
          V-^,
          3,          ,          ,           V4^ VV-3&   K  ^ V4^ VV-3&   \        ^ V-4       F  p9V4^ VV93,          S P.                  S P1                  ^V-,          ^V9,          ,
          4      ,          S P1                  V-V9,
          4      ,          ,          p:V4^ VV-3;;,          RV-V9,
          ,          V:,          ,          uu&   K  	  EKv  	  ^ V4^ VR3&   ^ V4^ VR3&   ^ V4^ V^V,          ^,          ^,           3&   EK  	  \        RV^,           4       F|  p;\        RV4       Fi  p\        R\        ^^V,          ^,          ^,           4      4       F7  p-V;^ 8  g&   V^ 8  g   V-^ 8  g   V-^V,          ^,          8  g   K/  ^ V4V;VV-3&   K9  	  Kk  	  K~  	  \        ^V^,           4       F  p;\        ^ V4       F  pV.V,          ^
,           S n        \        ^ ^V,          ^,          ^,           4       F  p-^V;,          ^,
          V4V;^,
          V^,
          V-^,
          3,          ,          ^VV,           ^,
          ,          V4V;^,
          V^,
          V-^,
          3,          ,          ,           p"V"V4V;^,
          V^,
          V-^,
          3,          ,
          V4V;VV-3&   K  	  K  	  K  	  / p</ p=^S n        S P                  ^(V^,           ,          4      p6S P                  ^DV^,           ,          V,          4      p7S P                  VV,          \        P                  ! S P
                  4      ,          4      ^,
          p>\        ^ V4       F  p-V7V-V>,          ,
          S P                  S P1                  V-R,           4      4      R,          ,           p8\        V6V8S P                  V4      ,
          ^,           4      ^,           ^
,           V<V-&   \        V6S P                  V^,           4      V8,           S P                  V4      ,
          ^,           4      ^,           ^
,           V=V-&   K  	  / p?V FF  p;\        ^ V4       F3  p-\        R^V-,          ^,          ^,           4       F  p@^ V?V;V-V@3&   K  	  K5  	  KH  	  V F  p;\        ^ V4       F  p-V<V-,          S n        \        ^ ^V-,          ^,          ^,           4       F  p@V4V;V-V@3,          V^V-,          ^V@,          ,
          ,          ,          V+^V-,          V@,
          ,          ,          V?V;V-V@3&   V?V;V-V@3,          ^S P2                  ,          V@,          ,          V?V;V-V@3&   K  	  K  	  K  	  V 3R lpA/ pBV FF  pC\        ^ V4       F3  p-\        R^V-,          ^,          ^,           4       F  p@^ XBXCV-V@3&   K  	  K5  	  KH  	  V<^ ,          ^,           S n        XA! V4      pDS P-                  VD4      ) pEV F  pC\        ^ V4       F  p-V<V-,          S n        \        ^ ^V-,          ^,          ^,           4       Fu  p@^ XBXCV-V@3&   \        ^ VC^,           4       FS  p;S P5                  XCV;4      XEV;,          ,          V?VCV;,
          V-X@3,          ,          pFXBVCV-V@3;;,          VF,          uu&   KU  	  Kw  	  K  	  K  	  V<^ ,          ^,           S n        / pG^VG^ &   VG^ ,          V,          VG^&   V<^ ,          S n        \        ^V4       F$  p-XGV-^,
          ,          VG^,          ,          VGV-&   K&  	  / pHV Fl  pC\        ^ V4       FY  p-V<V-,          S n        \        ^ ^V-,          ^,          ^,           4       F#  p@XBXCV-V@3,          XGV-,          ,          XHVCV-V@3&   K%  	  K[  	  Kn  	  / pIV Fh  pC\        ^ V4       FU  pV=V,          S n        ^ pJ\        ^ ^V,          ^,          ^,           4       F  p-XJXHXCVV-3,          ,          pJK  	  XJXIXCV3&   KW  	  Kj  	  / pK^S n        \        P                  ! S P
                  4      V,          W,          ,          pL^S n        S P                  RV^,           ^,          ,          VL,          V,          4      pM\        VMS P                  ^
V^,           ,          4      4      pMVMS n        V FG  pC^ XKVC&   \        ^V^,           4       F(  p-XKXC;;,          XIVCVV-,
          3,          ,          uu&   K*  	  KI  	  ^S n        ^S P                  XK^ ,          4      ,          pNV
^VN,          ,          pOVS P-                  V^S P
                  ,          ,          4      ,          pP^S P                  ^^VO,          S P                  Wv) 4      ,          ,           VP,          4      ,           pQVQS n        V^S P
                  ,          ,          pRV^,          S P-                  VR4      ,          V^,          ,
          S P
                  ^,          ,
          pSS P7                  VS) 4      pTXA! V4      pS P                  Wv) 4      pRV$^,
          ,          V,          VT,          pU^S n        ^S P                  V$S P                  V$^V,
          4      ,           S P-                  V$4      ,          V,          4      ,           pVVV^
,           S n         S P9                  V^\;        V$4      ^,
          V4      ^ ,          pW^S n        \        VWV,          4      pX\        VKV,          VU,          4      pY\        ^VS P                  ^^VX,          ^VY,          ,           ,          4      ,           4      pZVZS n        / p[V F$  pCXWVC,          XKVC,          XU,          ,           X[VC&   K&  	  VS n        X[# )aa  
Computes several derivatives of the auxiliary function of Riemann `R(s)`.

**Definition**

The function is defined by

.. math ::

    \begin{equation}
    {\mathop{\mathcal R }\nolimits}(s)=
    \int_{0\swarrow1}\frac{x^{-s} e^{\pi i x^2}}{e^{\pi i x}-
    e^{-\pi i x}}\,dx
    \end{equation}

To this function we apply the Riemann-Siegel expansion.
rk   rS   r   rl   rm   rn   ro   rp   rq   rb   rr   rs   c                    < SP                   pV^,           Sn         SP                  V ^SP                  ,          ,          4      pVSn         V# rv   rx   ry   s   &  r   r}   Rzeta_set.<locals>.trunc_a  r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   )r   r   r   r   r#   r   rc   r   r   r   r   r   r   r`   r   erd   r   r    rC   rQ   r   rT   r   r!   r"   r   r   r   r   )\r   r   derivativesr   r   rz   sigmarX   asigmaA1r&   r   eps2br=   AB1r   eps3eps4r   r   r-   re   rf   rg   r%   r   r   foreps5r]   r[   r\   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r   r6   wpdr   d2constd3psigmadr   r   r   r   r   r   r;   wptcoefwptermc4fortcoefr   r}   tcoefr   r|   r   r   r   tvtermr   rssumrsboundwprssumr   r   r   wps3r   r   r   S3r  S1absS1absS2wpendrzs\   f&&                                                                                         r   	Rzeta_setr5    s&   $ k
C I
AGGAJECHAcffHAYYq F	1cggfoa'	(B
))A	z
"Cr6D8B;D CHqyHHQug%HHQuHHQvw&HHQv CH	A
A#cii#
13r!2
2d
:aCAaA 
1!Ac		qs1uU{1}#e*ad2B!"VWW !A#JD
 1:D 	aq"a(A	B1ac!e_1  
s1uB	r	!	SXXa[	(	/	6B	ciiAqD1Q3'*	*Q	.B	RBAh]SYYqs^+F
2+aCCFF(F"1$ 
Dggdggob "G1R[xx1%tAv.yy1~cii#c	22yyt)D.Q	  1Q^AF
q&C772a4=D1f4SYYqs^!3DG!;<=  cggaj 2%CHAcffHA		!A	!QqS'	A ))Aswwqz4'(
)Ccggaj$&'+JC!eC3771:./0A 99QsvvXq!399QqS>!#3A#56D 
B	D#q$'ND(	B	B1ac!e_1 CH1QqS\qs1uQwr"%A1H1%D &1q!A#a%'"AqSBqsGOBqE #  C	Q1Q	 B	CGGQs5z\1$%	%cggdm	3A	5BFF1cffSVVmAoa'*2-./2E1QZWWSXXcii#./01U71CCBFRA 
 1vbyCH%[F
AAfI16qah1!E(AgJQ!G*!&	qQvY1QZq6"9q1a"A!AaCA1WWQYTRi]sVa!A#ac	l?2a!A#aj=8Aa!AaCiLH!Aa%!Aa%qAAaE(CGGCGGAaC!G,<$<SWWQqS\$IJCa!eH"!c 11H $ # !Ab&	qQq2vY!!Aa!QqL/ " Bs1uor!A2c!AaCF1Ho.Tacaca!Qh !Ab1fI /   Ac!enqA1vbyCH1QqS!VAX&rT!VQr!tAaC!|_,Qa	]1RT!A#ac\?-JJ!BqD1QqSL/1"Qq&	 '   GFCH	QqS	B	QqS!	B	Adii''	(	*B1QZ!B$Yswwswwqu~.r11Bswwt},Q./125
3771Q3<?3774=8:;A=rAq	  HqAR!Qq)#$Ac" *  
 qAqzCHQqsAvax(#$R#X;r!A#ae)}#<Xac#g=N#NAc"#+BqH#5#%%#~#FAc" )   EqAR!Qq)!"c!Ci  *   qz!|CH	B
&&*BqAqzCHQqsAvax(#$c!Ci 3q5/B"||C3b"f< R#. /H#a)$0$ * )   qzA~CH 
BBqEqE!GBqEqzCH1QZ1Q3"Q%1  
BqAqzCHQqsAvax( %c!Ci 0"Q% 73q9 )   DqAayCHB1ac1fQh'bQqk! (DQK   ECHii!#ac*GCHggcAaC!8nW,t34G'3772qs8,-GCHc
q1A#J$s1Q3w-'J   CH	
SWWU1X	B2;D	CFF1ah<  Asww1T6399Qv#6669::DCH
QsvvX,CQ3s
QqS
!#&&(
*C#A
AYYq&!F1+	!	#B CH399Qqw//:4?@@ErzCH 
aCF1Hk	21	5B CH3LEc
R E9swwq!E'!E'/':;;<ECH	BS'%*R-'3 CHIr   c                &   V P                  R4      V P                  V,          ,           pV P                  p^V n        V^V P                  ,          ,          pV^,           V P	                  ^VR,          ,          V P                  V4      ,          4      ,           pV^,           V P	                  ^V,          V P                  V4      ,          4      ,           pW`n        V P                  V4      pWpn        \        W\        V^,           4      4      p	V^ 8  dW   V P                  V P                  ^ V^,          4      ^,          V P                  V P                  4      ^,          ,
          4      p
V^8  dA   V P                  V P                  V P                  ^V^,          4      ,          ^,          4      pV^8  d1   V P                  V P                  ^V^,          4      ) ^,          4      pV^8  dB   V P                  V P                  ) V P                  ^V^,          4      ,          ^,          4      pV P                  V4      pV^ 8X  d   ^V,          V	^ ,          ,          pV^8X  d/   RV,          pVX
V	^ ,          ,          V	^,          ,           ,          pV^8X  dy   ^V,          pV) ^V	^,          ,          X
,          V	^ ,          V
^,          ,          ,           V	^,          ,           V P                  V	^ ,          ,          X,          ,
          ,          pV^8X  d   RV,          p^V	^,          ,          X
^,          ,          V	^ ,          V
^,          ,          ,           ^V
,          V	^,          ,          ,           pVVRV	^,          ,          X,          ,
          RV	^ ,          ,          V
,          V,          ,
          V	^,          ,           V	^ ,          X,          ,
          ,          pV^8X  Ed   ^V,          p^V	^,          ,          X
^,          ,          V	^ ,          V
^,          ,          ,           ^V
^,          ,          V	^,          ,          ,           pVRV	^,          ,          V
,          X,          ,
          RV	^ ,          ,          V
^,          ,          V,          ,
          RV	^,          ,          V,          ,
          ^V	^ ,          ,          V,          V,          ,
          pV^V
,          V	^,          ,          ,           ^V	^,          ,          X,          ,
          ^V	^ ,          ,          V
,          V,          ,
          V	^,          ,           V P                  V	^ ,          ,          X,          ,           pVV,          pW@n        V P                  X4      # )z%
z_half(t,der=0) Computes Z^(der)(t)
0.5rt                  @              @              (@              @y              )r    r"   r   r   r   rT   siegelthetar5  r   r   psir   )r   rz   r   r   r   ttwpthetawpzthetar4  ps1ps2ps3ps4expthetazzfs   &&&              r   z_halfrI  r  s    
ggenSUU1WAICH	
AcffHBlSWWQC[%;<<G
a-#''"R%r
"23
3CHOOAEH	3%A,	'B
Qwcggcgga!nQ.1AAB
QwcggceeCGGAacN2145
Qwcggswwq1~oa/0
QwcggsuufSWWQqs^3B67xxH
axhJr!u
ax[BqE	"Q% 
ax\C2a5RU36\)"Q%/beC?@
ax\beGCFN2a5a<'#be3"RU(3,r"Q%x|C//15beCi?@
axxZbeGCFN2a5a<'#q&A6c"Q%imC2a5a 33Br!uHSL@2a5SP#beOAbeGCK'"Q%C71=ceeBqEk#oMqDH771:r   c                   V P                   pV P                  V4      pV P                  V4      p^5V n         V^ 8  d   V P                  \	        V4      4      pMF^V P
                  ,          V^,
          ,          \	        ^V,
          4      RV,
          ,          ,          pV^ 8  d2   ^V P                  V^V P
                  ,          ,          4      ,          pM^V,          V,          p\	        RV,
          4      p^V,          \        P                  ! V4      ,          p	\        ^^V P                  V4      ,           4      p
^V P                  RV,          RV,          V,          ,           RV,          V,          V	,          ,           4      ,           V,           ^,           p\        W4      p
\        ^^V P                  RV,          V,          4      ,           V,           ^,           4      p^V P                  R^V,          ,           4      ,           V,           ^,           pWn         V P                  WPP                  W@P                  R4      ,
          ,          ,
          4      pV^ 8  dW   V P                  V P                  ^ V^,          4      4      ^,          V P                  V P
                  4      ^,          ,
          pV^8  d1   V P                  V P                  ^V^,          4      4      ) ^,          pV^8  d1   V P                  V P                  ^V^,          4      4      ) ^,          pV^8  d0   V P                  V P                  ^V^,          4      4      ^,          pWn         \        W\!        V^,           4      4      p/ p\!        ^ V^,           4       F  pV P#                  VV,          4      VV&   K   	  Wn         V P%                  RV,          4      pV^ 8X  d   V^ ,          VV^ ,          ,          ,           pV^8X  d>   V^,          ) ^V^ ,          ,          X,          ,
          pV^,          VV,          ,           pV^8X  d|   ^V^,          ,          X,          ^V^ ,          ,          V^,          ,          ,           V^,          ,           RV^ ,          ,          X,          ,           pV^,          VV,          ,           pV^8X  d   RV^,          ,          X^,          ,          ^V^ ,          ,          V^,          ,          ,
          ^V^,          ,          V,          ,
          R	V^,          ,          X,          ,
          pVR
V^ ,          ,          V,          V,          ,
          V^,          ,
          ^V^ ,          ,          X,          ,           pV^,          VV,          ,           pV^8X  Ed   ^ V^,          ,          X^,          ,          ^V^ ,          ,          V^,          ,          ,           ^V^,          ,          V^,          ,          ,           pVRV^,          ,          V,          X,          ,           RV^ ,          ,          V^,          ,          V,          ,           pVR
V^,          ,          V,          ,           ^V^ ,          ,          V^,          ,          ,
          ^V^,          ,          V,          ,           ^V^,          ,          X,          ,
          pV^V^ ,          ,          V,          V,          ,
          V^,          ,           RV^ ,          ,          X,          ,
          pV^,          VV,          ,           pW0n         X# )z7
zeta_half(s,k=0) Computes zeta^(k)(s) when Re s = 0.5
ro   (\ @3333335@?皙@皙?r7  r8  r;  r:                H@r   )r   r   r   r#   r   r   r   logr   r   r<  r"   r    r=  rT   r5  r   r   r   )r   r   r6   r   r  rz   XM1abstr   wpbasicwpbasic2r?  wpRrA  rB  rC  rD  rE  r	  r  r   rF  zvzv1s   &&&                      r   	zeta_halfr[    s!    IGGAJE
ACHqyHHSVsvvXq!C!Hs5y$99qysxx1SVV8%%UQYs1u:D	4A!AcggajL!Gbb*3r6!8A:566y@BH'$G!Qswws2vax((2145G
CGGC!G
Y
&q
(CHOOAeeU775>%9::;E1uSWWSWWQqs^,a/#&&.2BBc1ucggcgga!n-.q0c1ucggcgga!n-.q0c1uSWWSWWQqs^,b0cH
C%!*
%C
CQqs|88CH%C Hxx5!H!tVHSVO#!t1vg#a&$Vhsl"!tAhsl1SV8S!V,,SV3Bs1vIcMAVHSL !t#a&ja#a&a/#a&<RAYs]JCAJsN3&&s1v-aAhsl:VHSL AvQiQ3q6	#q& 00CF361AA3s1v:c>#%%c#a&j#q&&9#&==#c!f*S. CF36!11!CF(3,>qQx|K"SV)C-##CF*2c!f9S=8VHSL HIr   c                   V P                   pV P                  V4      pV P                  V4      p^5V n         V^ 8  d   V P                  \	        V4      R4      pMXV P                  ^V P
                  ,          V^,
          4      V P                  \	        ^V,
          4      RV,
          4      ,          pV^ 8  d2   ^V P                  V^V P
                  ,          ,          4      ,          pM^V,          V,          p^V,
          ^ 8  d2   ^V P                  V^V P
                  ,          ,          4      ,          pMY^V,          V P                  ^V P
                  ,          V) 4      ,          V P                  \	        V4      VR,
          4      ,          p\	        RV,
          4      p	^V	,          \        P                  ! V	4      ,          p
\        ^^V P                  V4      ,           4      p^V P                  RV,          RV,          V,          ,           RV,          V,          V
,          ,           4      ,           V,           ^,           p\        W4      p\        ^^V P                  RV,          V,          4      ,           V,           ^,           4      p^V P                  R^V,          ,           4      ,           V,           ^,           pWn         V P                  WPP                  W@P                  R4      ,
          ,          ,
          4      pTpV P                  ^V,
          4      pWn         \        WV4      w  ppV^ 8  dm   V P!                  ^ V^,          4      V P!                  ^ ^V,
          ^,          4      ,           ^,          V P#                  V P
                  4      ^,          ,
          pV^8  dW   V P                  V P!                  ^V^,          4      V P!                  ^^V,
          ^,          4      ,
          ,          ^,          pV^8  dG   V P!                  ^V^,          4      V P!                  ^^V,
          ^,          4      ,           ) ^,          pV^8  dX   V P                  ) V P!                  ^V^,          4      V P!                  ^^V,
          ^,          4      ,
          ,          ^ ,          pWn         V P%                  RV,          4      pV^ 8X  d   V^ ,          VV^ ,          ,          ,           pV^8X  d>   V^,          ) ^V^ ,          ,          X,          ,
          pV^,          VV,          ,           pV^8X  d|   ^V^,          ,          X,          ^V^ ,          ,          V^,          ,          ,           V^,          ,           RV^ ,          ,          X,          ,           pV^,          VV,          ,           pV^8X  d   RV^,          ,          X^,          ,          ^V^ ,          ,          V^,          ,          ,
          ^V^,          ,          V,          ,
          R	V^,          ,          X,          ,
          pVR
V^ ,          ,          V,          V,          ,
          V^,          ,
          ^V^ ,          ,          X,          ,           pV^,          VV,          ,           pV^8X  Ed   ^ V^,          ,          X^,          ,          ^V^ ,          ,          V^,          ,          ,           ^V^,          ,          V^,          ,          ,           pVRV^,          ,          V,          X,          ,           RV^ ,          ,          V^,          ,          V,          ,           pVR
V^,          ,          V,          ,           ^V^ ,          ,          V^,          ,          ,
          ^V^,          ,          V,          ,           ^V^,          ,          X,          ,
          pV^V^ ,          ,          V,          V,          ,
          V^,          ,           RV^ ,          ,          X,          ,
          pV^,          VV,          ,           pW0n         X# )z#
Computes zeta^(k)(s) off the line
ro   rK  rL  rM  rN  rO  r7  r8  r;  r:  rP  r   rQ  )r   r   r   rc   r   r   r#   r   rR  r   r   r<  r"   r    r   r  r=  rT   r   )r   r   r6   r   r  rz   rS  rT  M2rU  r   rV  rW  r?  rX  rA  s1s2r	  r  rB  rC  rD  rE  rF  rY  rZ  s   &&&                        r   zeta_offliner`    s    IGGAJE
ACHqyIIc!fc"IIaha(3qs8CI)FF	sxx1SVV8%%UQY	%!sxx1SVV8%%qS1SVV8eV,,SYYs1veCi-HHs1u:D	4A!AcggajL!Gbb*3r6!8A:566y@BH'$G!Qswws2vax((2145G
CGGC!G
Y
&q
(CHOOAeeU775>%9::;E	
B	!B$BH31%HC1uSWWQr!t_SWWQ"ax%88!;cffSVVnQ>NNc1uCEE3771RT?3771adAX+>>?Ac1ucgga1ocgga2q&99:2=c1uSUUFCGGAbdOCGGAqtQh,??@CcHxx5!HAvVHSVO#Av1vgaAhsl"VHSL AvAhsl1SV8S!V,,c!f4RAYs]BVHSL Av#a&ja3q6#q&03q6#=bQimKCAJsN3&&s1v-aAhsl:VHSL AvQiQ3q6	#q& 00CF361AA3s1v:c>#%%c#a&j#q&&9#&==#c!f*S. CF36!11!CF(3,>qQx|K"SV)C-##CF*2c!f9S=8VHSL HIr   c           
     0   V P                  R4      V P                  V,          ,           pTpV P                  ^V,
          4      pV P                  p^#V n        V P	                  V4      ^ 8  d[   ^V P                  V P                  V4      ^V P                  ,          ,          4      ,          pV P                  \        V4      4      pM^V P                  ,          V P	                  V4      ^,
          ,          \        ^V,
          4      RV P	                  V4      ,
          ,          ,          p^V P                  V4      ,          V,          pV P	                  V4      ^ 8  dA   ^V P                  V P                  V4      ^V P                  ,          ,          4      ,          p	M^V P                  V4      ,          ^V P                  ,          V P	                  V4      ^,
          ,          ,          \        ^V,
          4      RV P	                  V4      ,
          ,          ,          p	^\        V P                  V4      4      ,          p
V P                  V4      pWV	,           ,          p^V,           p\        ^^V P                  V
4      ,           V P                  V^^V
,          ,           ,          4      V,           4      p\        ^V P                  RV,          4      V,           4      pV P                  ^V,          4      V,           pWn        V P                  V4      pVV n        \        WV4      w  ppRRV,          ,           pRRV,          ,
          pV^ 8  dX   RV P                  ^ V4      V P                  ^ V4      ,           ,          V P                  V P                  4      ^,          ,
          pV^8  d1   R	V P                  ^V4      V P                  ^V4      ,
          ,          pV^8  d1   R
V P                  ^V4      V P                  ^V4      ,           ,          pV^8  d1   RV P                  ^V4      V P                  ^V4      ,
          ,          pWn        V P                  V4      pV^ 8X  d&   VV^ ,          ,          V^ ,          V,          ,           pV P                  pV^8X  d^   VV,          V^,          V^ ,          X,          ,           ,          VV^,          V^ ,          V,          ,           ,          V,          ,
          pV^8X  d   VRV^,          ,          X,          V^ ,          V^,          ,          ,
          V^,          ,
          VV^ ,          ,          X,          ,           ,          pVRV^,          ,          V,          V^ ,          V^,          ,          ,
          V^,          ,
          VV^ ,          ,          V,          ,
          V,          ,           pV^8X  Ed   RV^,          ,          X^,          ,          V^ ,          V^,          ,          ,
          ^V^,          ,          V,          ,
          V^,          V^,          ,          X,          ,           pVRV^ ,          ,          V,          V,          ,           V^,          ,
          V^ ,          X,          ,           V,          V,          p^V^,          ,          V^,          ,          V^ ,          V^,          ,          ,           ^V^,          ,          V,          ,           V^,          V^,          ,          V,          ,           pVVRV^ ,          ,          V,          V,          ,           V^,          ,           V^ ,          V,          ,
          ,          V,          pVV,           pV^8X  Ed    ^V^,          ,          X^,          ,          V^ ,          V^,          ,          ,           ^V^,          ,          V^,          ,          ,           pVRV^,          ,          V,          X,          ,
          RV^ ,          ,          V^,          ,          V,          ,
          RV^,          ,          V,          ,
          pV^V^ ,          ,          V,          V,          ,
          ^V^,          ,          V,          ,           ^V^,          ,          X,          ,
          ^V^ ,          ,          V,          V,          ,
          pVV^,          ,           VV^ ,          ,          X,          ,           p^V^,          ,          V^,          ,          V^ ,          V^,          ,          ,           ^V^,          ,          V^,          ,          ,           pVRV^,          ,          V,          V,          ,           RV^ ,          ,          V^,          ,          V,          ,           RV^,          ,          V,          ,           pV^V^ ,          ,          V,          V,          ,
          ^V^,          ,          V,          ,           ^V^,          ,          V,          ,
          ^V^ ,          ,          V,          V,          ,
          pVV^,          ,           VV^ ,          ,          V,          ,
          pVV,          VV,          ,           pW`n        X# )z0
Computes Z(w) and its derivatives off the line
r7  ro   gRQ @g      ?y              ?r9  r:  r;  y              ?g      y             r   r   )r    r"   r   r   r   r#   r   r   r   r<  r   r   r  r=  rT   r   )r   r/   r6   r   r^  r_  r   rT  rS  r]  r   r[   r\   r^   rV  r?  rX  rA  r	  r  ptaptbrB  rC  rD  rE  rF  rY  r"   rZ  zv2s   &&&                            r   	z_offlinere    sA    	suuQwA	
B	!B$BICH 	qsxxQZ011HHSWsvvXQ'#ad)c#''"+o*FF_QqsxxQZ011_ah#''"+a-88QrTSQS_9UU	#cooa 
!!A 88A;DB<Di<D!Qswwqz\3774AaC=#9$#>?G!CGGDI&t+,G
''!D&/$
CHOOAECH3#HC
a-C
a-C1uD#''!C.378366#&&>!;KKc1uTCGGAcN3771S>9:c1uVcgganSWWQs^;<c1uVcgganSWWQs^;<cHxxHAvc!f_SVH_,AAvxZQAs
*+As1vc!fSj/@,A(,JJAvr#a&y}SVCF]23q69!CF(3,FG"SV)C-AsAv-c!f4Qs1vXc\A8KKAvQiQs1vc1f},Qs1vXc\9!A#c!f*S.HBs1vIcM#%%c!f,SVCZ7:8CAhsAvoc!fS!Vm+Ac!fHSL81SVCGr#a&y}S((#a&0Q;<XEWAvAhsAvoc!fS!Vm+aAhsAvo=#c!f*S.$$RAYsAv%5c%99"SV)C-G!CF(3,s""1SV8C</#a&<Qs1vXc\#=MM#a&j3q6#%AhsAvoc!fS!Vm+aAhsAvo=#c!f*S.$$RAYsAv%5c%99"SV)C-G!CF(3,s""1SV8C</#a&<Qs1vXc\#=MM#a&j3q6#%c\#h,&HIr   c                 <   V^8  d   \         hV P                  V4      pV P                  V4      q@P                  V4      pV^ 8  d3   V P	                  V P                  V P	                  V4      V4      4      pV# VR8H  pV'       d   \        WV4      # \        WV4      # )   ro   )r   rC   r   r   r   rs_zetar[  r`  )r   r   
derivativekwargsreimrG  critical_lines   &&&,    r   rh  rh  b  s    A~!!AA	B''!*R	AvHHS[[!j9:3YM,,CJ//r   c                     V P                  V4      pV P                  V4      q0P                  V4      pV^ 8  d   \        W) V4      # V^ 8H  pV'       d   \	        WV4      # \        WV4      # r   )rC   r   r   rs_zrI  re  )r   r/   ri  rk  rl  rm  s   &&&   r   rp  rp  q  sb    AA	B''!*R	AvCZ((1WMcj)),,r   ro  )__doc__r   objectr   	functionsr   r>   rQ   r`   rh   r  r5  rI  r[  r`  re  rh  rp  r   r   r   <module>rt     s   0d (f ( *t'l.6	DL $%# qh&P<|@DFP 0 0 	- 	-r   